Dilatace času
- principy relativity a konstantní rychlosti světla mění naše
jednoduché představy klasické fyziky
- současnost událostí je relativní pojem a závisí na volbě IVS
- to vše vede k jevu "dilatace
času"
- hodiny, které se pohybují vzhledem k soustavě K
jdou pomaleji,
než hodiny, které jsou vzhledem k této soustavě K
v klidu
- využijeme tzv. světelných hodin (viz obr.):
- skládají se ze dvou rovnoběžných zrcadel Z1 a Z2 mezi nimiž se
periodicky odráží světelný signál
- vzdálenost mezi zrcadly lze rozdělit na menší
dílky a
podle toho, kde se nachází právě světelný signál vyslaný od jednoho
zrcadla (např. Z1) určit čas
- v podstatě si můžeme představit jako velmi
rychlé
přesýpací hodiny, kde se místo písku "přesypuje" světlo a místo ručního
otáčení hodin jsou k otočení paprsku zrcadla
- v praxi je ale nelze sestrojit, jen si je
můžeme
představit
Odvození dilatace času
(sledujte obrázek!!!):
- budeme mít dvoje stejné světelné hodiny, jedny v klidu v
soustavě K
a druhé se budou v soustavě K'
pohybovat vzhledem k soustavě K
rychlostí blízkou rychlosti světla (v
→ c)
- umístíme je do počátku souřadnic obou soustav P
a P'
tak,
že v počátku souřadnic jsou zrcadla Z1
a Z1'
- hodiny H
do soustavy K
- hodiny H'
do soustavy K'
- počátek měření (t0 = 0) bude v
okamžiku, kdy se oboje hodiny
nacházejí v jednom místě (tedy soustavy K
a K'
splývají)
- v soustavě K
pozorovatel (Jana)
zvolí na svých hodinách H
libovolnou měřenou dobu Δt
(např. dobu, než
signál dorazí od zrcadla Z1
k zrcadlu Z2)
- světlo se šíří
kolmo k zrcadlům
- v soustavě K'
pozorovatel (Petr)
zjistí na svých hodinách
H',
že se světlo šíří také kolmo k zrcadlům a od zrcadla Z1'
k zrcadlu Z2'
mu to trvá také dobu Δt
- jinou situaci ale vidí Jana
na Petrových
hodinách H'
- protože se Petrovy
hodiny H'
pohybují rychlostí v vzhledem k soustavě
K,
posunou se za dobu Δt
o vzdálenost:
PP'
= vΔt
- za stejnou dobu urací světlo vzdálenost:
PM
= cΔt
- tato vzdálenost je rovna - vzhledem k tomu, že jsme zvolili
dobu Δt jako
vzdálenost kdy na hodinách H
proběhne světelný signál mezi oběma
zrcadly = vzdálenosti zrcadel, ale protože se hodiny H'
pohybují, a
platí princip konstantní rychlosti světla všemi směry Jana
v soustavě K
zjistí, že světlo v hodinách H'
nedorazilo až k zrcadlu Z2',
ale jen do bodu M
a k zrcadlu Z2'
mu to ještě
chvíli bude trvat - hodiny jdou tedy v soustavě K' pro
Janu
pomaleji!!!
Hodiny H' pohybující se vzhledem k
pozorovateli jdou pomaleji než
hodiny H, které jsou vzhledem k tomuto pozorovateli v klidu. Tento jev
nazývame DILATACE ČASU.
Odvození vztahu pro dilataci
času:
- hodiny H'
se za dobu Δt vzhledem k soustavě K
posunou po dráze vΔt
- světelný paprsek urazí vzhledem k soustavě K
dráhu PM
= cΔt
- z hlediska Petra
v soustavě K'
se světlo šíří také
rychlostí c
a do bodu M
urazí dráhu P'M
za dobu Δt'
a platí:
P'M
= cΔt'
- protože P'M
< PM
a rychlost světla c
je v obou soustavách K
a K'
stejná, musí
platit i Δt'
< Δt
- matematicky (podle obr.) odvodíme z Pythagorovy věty:
(PM)2
= (P'M)2
+ (vΔt)2
- dosazením a úpravami dostaneme:
(cΔt)
2 = (cΔt')
2
+ (vΔt)
2
c
2Δt
2 = c
2Δt'
2 + v
2Δt
2
c
2Δt
2 - v
2Δt
2 = c
2Δt'
2
(c
2 - v
2)Δt
2 = c
2Δt'
2
, vydělíme c
2
a dále upravíme:
a nakonec
odmocníme a získáme
vztah
pro dilataci času:
Experimentální ověření
vztahu pro dilataci času:
- od počátku teorie relativity byla snaha - jak jen to bylo
technicky možné - experimentálně ověřit tento vztah
- přesvědčivé ověření v zemských podmínkách bylo možné
nejdříve pouze na částicích s krátkou dobou života - např. mezony π
+
- mezony π+ jsou kladné částice
273
krát hmotnější než elektrony a velmi nestabilní
- střední doba života v klidové soustavě je τ0 = 2,5.10-8 s
- podle klasické fyziky by měl uletět v urychlovači
při
rychlosti v = 0,99c
dráhu:
s0
= v
. τ0
= 0,99 . 3.108 . 2,5.10-8
m = 7,4 m
- experimenty ale ukázaly, že dráha uražená mezonem π+
je daleko delší, cca 53 m, proč?:
- při rychlostech blízkých rychlosti světla nelze
použít
zákony klasické fyziky
- pokud, čistě hypoteticky, posadíme na mezon
pozorovatele
a urychlilíme mezon na konstantní rychlost 0,99c vzhledem k
laboratoři,
pro pozorovatele má mezon opět dobu života τ0 = 2,5.10-8 s, neboť podle
principu relativity
platí stejné fyzikální zákony ve všech IVS,
- ale v laboratoři na Zemi, ke které se mezon pohybuje
rychlostí 0,99c je střední doba života:
s = v . τ = 0,99 . 3.108
. 17,7.10-8
m = 53 m
- v roce 1971 byl vztah ověřen i při běžných rychlostech
- byly porovnány časy dvou přesných atomových hodin:
- jedny hodiny zůstaly na Zemi
- druhé hodiny byly umístěny do letadla a s letadlem
obletěly Zemi
- po přistání bylo zjištěno, že hodiny na letadle se
oproti
těm, které byly na Zemi, zpozdily o 203 ns ± 10 ns
- toto ověření bylo asi s 10 % přesností
Praktické využití
dilatace času:
- již mnoho let se setkáváme v běžném životě s dilatací času,
aniž to většina lidí tuší:
- navigace - GPS, GALILEO
- velmi zjednodušeně lze říci, že v podstatě nejde o nic
jiného, než že
se porovnávají časy minimálně tří, lépe čtyř družic a z rozdílu času
(družice se pohybují, tudíž jim běží čas jinak než na Zemi a jsou
řízeny velmi přesnými hodinami) se vypočte
poloha, samozřejmě je nutné znát i další parametry, ale dilatace času
je nejdůležitější
Paradox dvojčat:
- vychází z toho, že se dvě dvojčata rozdělí - jedno zůstane
na Zemi a druhé cestuje v raketě rychlostí blížící se rychlosti světla
- po návratu zjistíme, že dvojče, které cestovalo v raketě je
mladší než dvojče, které zůstalo na Zemi, tedy stárlo pomaleji
- viz příklad:
Jana a Petr jsou dvojčata,
když jim bylo 25 let Petr se
rozhodl, že poletí k nejjasnější hvězdě oblohy - Síriu, kterou obletí a
vrátí se na Zemi. Jana zůstala na Zemi. Petr letěl raketou, která se
pohybovala rychlostí 0,95c. Vzdálenost Síria je 8,6 světelných let.
kolik let bude Janě a Petrovi, až se vrátí?
Řešení:
s = 8,6 l.y.
v = 0,95c
t = ? let
1. jak dlouho poletí Petr k
Síriovi a zpět (tam a
zpět = 2x doba jedním směrem), je též doba o kolik Petr zestárne:
2. kolik let uplyne Janě na Zemi:
Výsledek:
Po návratu bude Petrovi
(25 + 18,1) roků = 43,1
let, Janě na Zemi už (25 + 57,98) roků = 82,98 let.
Poznámka:
z příkladu je vidět, že,
pokud někdy v
budoucnosti zvládneme technicky výrobu raket pohybujících se rychlostí
blížící se rychlosti světla, budeme moci alespoň částečně "cestovat do
budoucnosti", vše je ale ovlivněno délkou lidského života. Život si
neprodloužíme vzhledem k raketě, ale vzhledem k Zemi, tj. pokud
poletíme do vzdálenosti 30 světelných let např. 31 roků a zpět také 31
roků, zestárneme o 62 let, ale na Zemi mezi tím uběhne mnohonásobně víc
let (cca 246 let). Tedy délka života je limitující v poznávání vesmíru
- dostaneme se
jen "za humna". Při cestování do velkých vzdáleností, či snad do
sousedních galaxií, se do cíle dostanou naši potomci z mnohonásobné
genrace, kteří by se museli narodit na raketě, celý život tam prožít a
mít další potomky. Nejbližší galaxie severní oblohy M31 v souhvězdí
Andromedy je 2 miliony
světelných let daleko, tzn., že pokud bychom drželi pravidlo, že každý
astronaut bude mít dítě ve 30 letech, vychází nám, že než bychom se
dostali do této galaxie při rychlosti rovnající se téměř rychlosti
světla, potřebovali bychom minimálně 67 tisíc generací - tj. 67 tisíc
lidí by nepoznalo nic jiného, než raketu, a to jsme zanedbali genetiku
- neboť v podstatě by se jednalo incesty, tj. do cíle by se dostali
velice degenerovaní lidé... A i kdybychom připustili tuto možnost,
a dokázali letět rychlostí 0,99c, a vrátili se zpět, tak na
Zemi uběhne téměř 30 milionů let a čím bychom se více přibližovali
rychlosti světla, tím by na Zemi uběhlo více let, až by se nám mohlo
stát, že se nebude kam vrátit - Slunce zanikne - "vyhoří".
Nesmrtelnost si tímto způsobem též nelze
zajistit.
