Kontrakce délek

• při měření délek se obvykle předpokládá, že měřený předmět je vzhledem k nám v klidu
• nyní budme mít tyč, u které budeme měřit délku, umístěnou v soustavě K' a vzhledem k soustavě K se bude pohybovat rychlostí v a zároveň je "položena" ve směru pohybu, tj. ve směru osy x (viz obr):

• krajní body této tyče v soustavě K' označme M' a N'
• délku pohybující se tyče M'N' bude měřit pozorovatel (Jana) v soustavě K
  • aby délku této tyče mohla změřit, musí vyznačit okamžité polohy koncových bodů M a N a délka je pak vzdálenost těchto bodů
    • podmínkou je, že body M a N musí být označeny současně
  • současné vyznačení bodů M a N je ale, jak již víme, pouze pro Janu v soustavě K
  • pozorovatel (Petr) v pohybující se soustavě K' zjistí, že vyznačení bodů M a N nebylo současné, ale postupné
    • Petr pak v soustavě K' vzdálenost bodů M a N nemůže považovat za délku tyče

Protože měření délky pohybujícího se předmětu vyžaduje současné určení koncových bodů předmětu při měření a současnost je relativní pojem, musí být i délka předmětu relativní pojem vzhledem k volbě IVS.

Odvození vztahu pro kontrakci délky:

• odvození délky l ₀ předmětu v klidové soustavě K' (z hlediska Petra, který se s touto soustavou pohybuje vzhledem k soustavě K) opět použijeme myšlenkový pokus:
  • z levého konce tyče (bod M' - počátek souřadnic soustavy K') v čase t ₀ = 0, kdy počátek soustavy K' míjí počátek souřadnic soustavy K, vyšleme ve směru jejího pohybu světelný signál
  • na pravém konci tyče bude v bodě N' zrcátko Z, které signál odrazí zpět
  • Petr (vůči němuž se tyč nepohybuje) zjistí, že světlo urazí dráhu M'N' za stejnou dobu, jako N'M', tedy čas potřebný na uražení dráhy M'N'M' je:

• Jana v soustavě K vůči níž se tyč v soustavě K' pohybuje rychlostí v zjistí, že světlo urazí z levého konce k zrcátku Z dráhu:

• to proto, že světlo k zrcátku musí urazit nejen délku tyče, ale ještě vzdálenost, o kterou se tyč posune rychlostí v za dobu t₁, než se světlo "stihne" dostat k zrcátku, ze vztahu vyjádříme čas:

• naopak, po odrazu se světlo šíři proti směru pohybu tyče a levý konec (bod M') se "blíží" ke světelnému signálu opět rychlostí v, takže dráha světelného signálu bude

• a úpravou je pak čas t₂:

• celkový čas tedy bude:

• z hlediska Petra v soustavě K' uplyne tedy doba t' mezi vysláním signálu z počátečního bodu tyče a jeho navrácením po odrazu na zrcátku tamtéž
• z hlediska Jany je tato doba ovšem doba t, pro kterou také platí vztah pro dilataci času:

• pokud tento vztah dosadíme za celkový čas, který naměřila Jana, dostaneme:

• dosazením za čas, který naměřil Petr a následnými postupnými úpravami pro vyjádření délky l: dostaneme

Tento vztah mezi délkou tyče l₀ v soustavě K', ke které je tyč v klidu a délkou tyče l v soustavě K, vzhledem k níž se pohybuje rychlostí v → c, nazýváme vztah pro kontrakci délek.

• tedy: délka tyče, které se ve směru své délky, je menší, než délka tyče v klidu
• tyč, která je kolmá ke směru pohybu (k ose x) se nezkracuje!!!!